Гипотеза Пуанкаре в исходной формулировке
Всякое односвязное компактное трехмерное многообразие без края гомеоморфно трехмерной сфере
Российскому математику Григорию Перельману собираются вручить миллион долларов за его доказательство гипотезы Пуанкаре. На этот раз Перельман назван лауреатом Премии тысячелетия по версии Математического института Клэя в США.
Напомним, что ранее ученый стал лауреатом Филдсовской премии, вручаемой Международным математическим конгрессом. Исследователь отказался от награды, что и стало одной из причин его широкой известности в российской прессе. Причем первый раз о сумме премии в один миллион долларов заговорили уже тогда.
читать дальшеПереведем на русский
Что означает гипотеза Пуанкаре и почему в авторитетнейшем журнале Science ее назвали открытием года, а потом еще и оценили в миллион долларов? Это не рецепт лекарства от злокачественных опухолей, не чертежи термоядерного реактора и не химический состав сверхпроводника, работающего при комнатной температуре. Более того, после перевода на обычный язык гипотезы Пуанкаре кажется очевидным утверждением.
Судите сами. Под «односвязным компактным трехмерным многообразием» понимается любой трехмерный объект без проделанных в нем дырок. Шар, куб, стакан, карандаш, моток веревки, лист бумаги — все это (если не рассматривать внутреннюю структуру материала) предметы, которые лишены каких-либо отверстий. Бублик, кружка с ручкой, сито и тому подобное — очевидным образом не относятся к односвязным трехмерным многообразиям.
Как получить из стакана шар и наоборот. Гипотеза Пуанкаре гласит, что какое-то подобное преобразование найдется для любой трехмерной фигуры без отверстий.
А гомеоморфизм одной фигуры другой (для определенности шара и стакана) — это возможность получить из одной другую без разрывания и склейки поверхности, одной деформацией, сжатием и растяжением отдельных участков. Если считать, что предмет сделан из очень эластичного и прочного материала, то стакан действительно можно сначала сплющить в диск (сжав его стенки), а потом диск превратить в шар. С чашкой такой фокус не получится из-за наличия отверстия в ручке: если его заклеить, то это уже не будет гомеоморфизмом.
Cмысл гипотезы Пуанкаре в ее изначальной формулировке как раз состоит в том, что для любого трехмерного тела без отверстий найдется такое преобразование, которое позволит его без разрезаний и склеиваний превратить в шар. Если это кажется очевидным, то что, если пространство не трехмерное, а содержит десять или одиннадцать измерений (то есть речь идет об обобщенной формулировке гипотезы Пуанкаре, которую и доказал Перельман)?
За что можно получить миллион в математике
Например, за доказательства того, что решение любой задачи на компьютере будет происходить за время, которое сопоставимо со временем, необходимым на проверку решения.
Чем занимаются математики
Но все-таки, даже если учесть сложность доказательства гипотезы Пуанкаре, за что ее считать одной из величайших проблем математики? Другие задачи из списка Института Клэя явно имеют вполне практические применения. Так, равенство задач классов P и NP позволит найти способы быстрого взлома шифров, уравнение Навье-Стокса применяется авиаконструкторами и метеорологами, квантовая теория вообще лежит в основе всей современной физики.
Чтобы понять это, придется обратиться к тому, чем занимались и занимаются другие лауреаты Филдсовской премии.
Максим Концевич, ныне постоянный профессор Института высших научных исследований во Франции, тоже получил Филдсовскую премию, но несколько раньше Перельмана, в 2002 году. И тема его научных работ на первый взгляд столь же отвлеченна — «Теория узлов». Как разместить веревку (одномерный объект) в многомерной сфере или иной геометрической фигуре, какие при этом получатся узлы, как свиваются из бесконечно тонких и растяжимых нитей косички... Кажется, ерунда, не стоящая денег налогоплательщиков.
Отнюдь нет. Интерес к топологии (раздел математики, изучающий непрерывные фигуры и поверхности) в целом и теории узлов в частности проявляют физики. Более того, вся современная физика по большому счету завязана на понимание того, что же представляет собой наше пространство и какими свойствами оно обладает. Например, его лишь с очень большим ограничением можно назвать трехмерным. Три измерения мы лишь наблюдаем вокруг себя в обычной жизни, в окружении не слишком крупных и не слишком мелких предметов с не очень большими скоростями.
По мере же приближения к скорости света обнаруживается, что на самом деле мы живем в четырехмерном пространстве-времени: движущиеся на околосветовых скоростях предметы поворачиваются в этом пространстве-времени так, что со стороны кажутся сплющенными, а летящие часы еще и начинают отставать от неподвижных. Дальше больше: выясняется, что гравитационное поле тоже связано с искривлением пространства. В нем отклоняются в сторону лучи света, причем это отклонение описывается математическими моделями, использующими четырехмерное пространство-время.
Если же продвигаться «вниз», в сторону сначала атомного ядра, потом протонов, потом кварков и еще дальше, то рано или поздно, как предсказывают физики, появится еще один удивительный эффект — возникновение дополнительных, скрытых, измерений. Согласно теории суперструн, элементарные частицы на самом деле являются не точками, а крошечными струнами, которые навиты на поверхность многомерных объектов.
Многообразие Калаби-Яу, точнее, его двумерное изображение. Именно на него могут быть намотаны суперструны, которыми являются все элементарные частицы.
А намотанные на многомерные объекты струны описываются именно теорией узлов. Гипотеза Пуанкаре тоже относится к геометрии пространства произвольной размерности, в результате чего математики строят уже не просто модель абстрактных косичек в многомерном пространстве, а готовят фундамент для новых физических теорий, описывающих уже вполне реальные частицы и процессы.
Чем это обернется на практике в отношении технологий, сказать пока сложно. Но нелишне вспомнить, что и первые исследования атомного ядра изначально не имели ничего общего с ядерными реакторами.
Главный миф
Григорий Перельман стоит особняком в ряду лауреатов престижных математических премий не только потому, что гипотеза Пуанкаре считалась одной из наиболее сложных. Всенародную известность в России ему принес именно «отказ от миллиона долларов» — суммы немалой и во многом символической.
Деньги и наука
Крегу Вентеру, американскому биологу, наука не помешала стать предпринимателем — скорее наоборот: созданная им компания Celera Genomics нашла $300 млн на расшифровку генома человека и поделила пальму первенства с государственным проектом «Геном человека».
Однако на самом деле все оказалось несколько не так. Речь о миллионе зашла только сейчас, а премия Филдса — это не миллион, а меньше $10 тыс.
Миллион ожидался именно со стороны Института Клэя (так как его представители еще раньше говорили о готовности выплатить такой приз за решение любой из семи отобранных ими задач), но в 2006 году математики, видимо, сочли необходимым выждать еще какое-то время для проверки выкладок российского математика. Около сотни страниц формул в кратком изложении не располагают к быстроте, поэтому в отсрочке не было ничего удивительного.
Премия будет потом.
Скончавшийся в прошлом году академик Виталий Гинзбург получил Нобелевскую премию по физике спустя десятки лет после своих работ в области теории сверхпроводимости.
А вот то, что Перельман уволился из института в конце 2005 года и с тех пор живет со своей матерью,— правда. Будет ли он соглашаться на премию, сказать пока сложно — можно лишь процитировать практически единственное из существующих в прессе интервью изданию The New Yorker:
Григорий Перельман на прогулке. Один из немногих снимков, сделанных после того, как он перестал заниматься научной работой.
Перспектива получения Филдсовской медали заставила Григория окончательно порвать с математикой. «Пока я оставался незаметным, у меня был выбор,— объяснил Перельман.— Либо крепко всем насолить, поднять шумиху по поводу нечистоплотных методов в науке, либо промолчать и терпеть отношение к себе как к домашней собачке. Теперь, когда я превратился в очень заметную персону, я не смогу и дальше молчать. Вот почему я был вынужден уйти». Мы спросили Перельмана, не думает ли он, что его отказ от Филдсовской медали и уход из науки лишает его возможности повлиять на состояние дел в математике. «Я не политик!» — сердито ответил Перельман. Григорий не стал отвечать на вопрос, распространяется ли его отказ от наград и на приз в один миллион долларов, назначенный Институтом Клэя. «Я не буду принимать никакого решения до тех пор, пока награда не будет предложена»,— звучит ответ Перельмана в переводе блогера vadda.
Адрес статьи: www.gzt.ru/topnews/science/-pereljmanu-hotyat-n...
© 2001-2010 АНО Редакция ежедневной ГАЗЕТЫ
Всякое односвязное компактное трехмерное многообразие без края гомеоморфно трехмерной сфере
Российскому математику Григорию Перельману собираются вручить миллион долларов за его доказательство гипотезы Пуанкаре. На этот раз Перельман назван лауреатом Премии тысячелетия по версии Математического института Клэя в США.
Напомним, что ранее ученый стал лауреатом Филдсовской премии, вручаемой Международным математическим конгрессом. Исследователь отказался от награды, что и стало одной из причин его широкой известности в российской прессе. Причем первый раз о сумме премии в один миллион долларов заговорили уже тогда.
читать дальшеПереведем на русский
Что означает гипотеза Пуанкаре и почему в авторитетнейшем журнале Science ее назвали открытием года, а потом еще и оценили в миллион долларов? Это не рецепт лекарства от злокачественных опухолей, не чертежи термоядерного реактора и не химический состав сверхпроводника, работающего при комнатной температуре. Более того, после перевода на обычный язык гипотезы Пуанкаре кажется очевидным утверждением.
Судите сами. Под «односвязным компактным трехмерным многообразием» понимается любой трехмерный объект без проделанных в нем дырок. Шар, куб, стакан, карандаш, моток веревки, лист бумаги — все это (если не рассматривать внутреннюю структуру материала) предметы, которые лишены каких-либо отверстий. Бублик, кружка с ручкой, сито и тому подобное — очевидным образом не относятся к односвязным трехмерным многообразиям.
Как получить из стакана шар и наоборот. Гипотеза Пуанкаре гласит, что какое-то подобное преобразование найдется для любой трехмерной фигуры без отверстий.
А гомеоморфизм одной фигуры другой (для определенности шара и стакана) — это возможность получить из одной другую без разрывания и склейки поверхности, одной деформацией, сжатием и растяжением отдельных участков. Если считать, что предмет сделан из очень эластичного и прочного материала, то стакан действительно можно сначала сплющить в диск (сжав его стенки), а потом диск превратить в шар. С чашкой такой фокус не получится из-за наличия отверстия в ручке: если его заклеить, то это уже не будет гомеоморфизмом.
Cмысл гипотезы Пуанкаре в ее изначальной формулировке как раз состоит в том, что для любого трехмерного тела без отверстий найдется такое преобразование, которое позволит его без разрезаний и склеиваний превратить в шар. Если это кажется очевидным, то что, если пространство не трехмерное, а содержит десять или одиннадцать измерений (то есть речь идет об обобщенной формулировке гипотезы Пуанкаре, которую и доказал Перельман)?
За что можно получить миллион в математике
Например, за доказательства того, что решение любой задачи на компьютере будет происходить за время, которое сопоставимо со временем, необходимым на проверку решения.
Чем занимаются математики
Но все-таки, даже если учесть сложность доказательства гипотезы Пуанкаре, за что ее считать одной из величайших проблем математики? Другие задачи из списка Института Клэя явно имеют вполне практические применения. Так, равенство задач классов P и NP позволит найти способы быстрого взлома шифров, уравнение Навье-Стокса применяется авиаконструкторами и метеорологами, квантовая теория вообще лежит в основе всей современной физики.
Чтобы понять это, придется обратиться к тому, чем занимались и занимаются другие лауреаты Филдсовской премии.
Максим Концевич, ныне постоянный профессор Института высших научных исследований во Франции, тоже получил Филдсовскую премию, но несколько раньше Перельмана, в 2002 году. И тема его научных работ на первый взгляд столь же отвлеченна — «Теория узлов». Как разместить веревку (одномерный объект) в многомерной сфере или иной геометрической фигуре, какие при этом получатся узлы, как свиваются из бесконечно тонких и растяжимых нитей косички... Кажется, ерунда, не стоящая денег налогоплательщиков.
Отнюдь нет. Интерес к топологии (раздел математики, изучающий непрерывные фигуры и поверхности) в целом и теории узлов в частности проявляют физики. Более того, вся современная физика по большому счету завязана на понимание того, что же представляет собой наше пространство и какими свойствами оно обладает. Например, его лишь с очень большим ограничением можно назвать трехмерным. Три измерения мы лишь наблюдаем вокруг себя в обычной жизни, в окружении не слишком крупных и не слишком мелких предметов с не очень большими скоростями.
По мере же приближения к скорости света обнаруживается, что на самом деле мы живем в четырехмерном пространстве-времени: движущиеся на околосветовых скоростях предметы поворачиваются в этом пространстве-времени так, что со стороны кажутся сплющенными, а летящие часы еще и начинают отставать от неподвижных. Дальше больше: выясняется, что гравитационное поле тоже связано с искривлением пространства. В нем отклоняются в сторону лучи света, причем это отклонение описывается математическими моделями, использующими четырехмерное пространство-время.
Если же продвигаться «вниз», в сторону сначала атомного ядра, потом протонов, потом кварков и еще дальше, то рано или поздно, как предсказывают физики, появится еще один удивительный эффект — возникновение дополнительных, скрытых, измерений. Согласно теории суперструн, элементарные частицы на самом деле являются не точками, а крошечными струнами, которые навиты на поверхность многомерных объектов.
Многообразие Калаби-Яу, точнее, его двумерное изображение. Именно на него могут быть намотаны суперструны, которыми являются все элементарные частицы.
А намотанные на многомерные объекты струны описываются именно теорией узлов. Гипотеза Пуанкаре тоже относится к геометрии пространства произвольной размерности, в результате чего математики строят уже не просто модель абстрактных косичек в многомерном пространстве, а готовят фундамент для новых физических теорий, описывающих уже вполне реальные частицы и процессы.
Чем это обернется на практике в отношении технологий, сказать пока сложно. Но нелишне вспомнить, что и первые исследования атомного ядра изначально не имели ничего общего с ядерными реакторами.
Главный миф
Григорий Перельман стоит особняком в ряду лауреатов престижных математических премий не только потому, что гипотеза Пуанкаре считалась одной из наиболее сложных. Всенародную известность в России ему принес именно «отказ от миллиона долларов» — суммы немалой и во многом символической.
Деньги и наука
Крегу Вентеру, американскому биологу, наука не помешала стать предпринимателем — скорее наоборот: созданная им компания Celera Genomics нашла $300 млн на расшифровку генома человека и поделила пальму первенства с государственным проектом «Геном человека».
Однако на самом деле все оказалось несколько не так. Речь о миллионе зашла только сейчас, а премия Филдса — это не миллион, а меньше $10 тыс.
Миллион ожидался именно со стороны Института Клэя (так как его представители еще раньше говорили о готовности выплатить такой приз за решение любой из семи отобранных ими задач), но в 2006 году математики, видимо, сочли необходимым выждать еще какое-то время для проверки выкладок российского математика. Около сотни страниц формул в кратком изложении не располагают к быстроте, поэтому в отсрочке не было ничего удивительного.
Премия будет потом.
Скончавшийся в прошлом году академик Виталий Гинзбург получил Нобелевскую премию по физике спустя десятки лет после своих работ в области теории сверхпроводимости.
А вот то, что Перельман уволился из института в конце 2005 года и с тех пор живет со своей матерью,— правда. Будет ли он соглашаться на премию, сказать пока сложно — можно лишь процитировать практически единственное из существующих в прессе интервью изданию The New Yorker:
Григорий Перельман на прогулке. Один из немногих снимков, сделанных после того, как он перестал заниматься научной работой.
Перспектива получения Филдсовской медали заставила Григория окончательно порвать с математикой. «Пока я оставался незаметным, у меня был выбор,— объяснил Перельман.— Либо крепко всем насолить, поднять шумиху по поводу нечистоплотных методов в науке, либо промолчать и терпеть отношение к себе как к домашней собачке. Теперь, когда я превратился в очень заметную персону, я не смогу и дальше молчать. Вот почему я был вынужден уйти». Мы спросили Перельмана, не думает ли он, что его отказ от Филдсовской медали и уход из науки лишает его возможности повлиять на состояние дел в математике. «Я не политик!» — сердито ответил Перельман. Григорий не стал отвечать на вопрос, распространяется ли его отказ от наград и на приз в один миллион долларов, назначенный Институтом Клэя. «Я не буду принимать никакого решения до тех пор, пока награда не будет предложена»,— звучит ответ Перельмана в переводе блогера vadda.
Адрес статьи: www.gzt.ru/topnews/science/-pereljmanu-hotyat-n...
© 2001-2010 АНО Редакция ежедневной ГАЗЕТЫ
@темы: Жизнь, как она есть